L'effet des valeurs absolus sur les fonctions

Les valeurs absolues rendent positif ce qui était négatif. Leurs effets sur une courbe ressemble souvent à un “effet miroir”.

Commençons avec le plus simple y=ƒ(|x|).
Ici toutes les valeurs négatives de x seront rendu positives.
La courbe sur x ℮ ]-∞;0[ sera la même que sur x ℮ ]0;+∞[ mais en sens inverse. La courbe représentant y=ƒ(|x|) sera symétrique par l'axe (Oy).

Maintenant si l'on prend y=|ƒ(x)|. La valeur absolue n'interviendra que lorsque ƒ(x) < 0. Chaque fois que sa courbe serai sous l'axe (Ox) la valeur absolue la ramènera au-dessus. Toutes les parties sous (Ox) se retrouveront inversé en haut.
Exemple :

Curiositée arithmétique

Calculez :
              9 x 9 + 7 = ...
            98 x 9 + 6 = ...
          987 x 9 + 5 = ...
        9876 x 9 + 4 = ...
      98765 x 9 + 3 = ...
    987654 x 9 + 2 = ...
  9876543 x 9 + 1 = ...
98765432 x 9 + 0 = ...

Symétrie horizontal et vertical d'une courbe de fonction

Au programme aujourd'hui la symétrie horizontal, vertical, par un point et par les diagonales.
Pour faire l'équation ƒ(x)Mr.Armand seules les symétries par l'axe (Ox) et (Oy) m'ont été utiles mais je mets quand même les autres pour le Fun !


La Symétrie par l'axe (Ox) ou (Oy) est toute simple :

Pour l'axe (Ox) il suffit de remplacer y = ƒ(x) par y = - ƒ(x) . Ainsi tout ce qui était sous l'axe (Ox) (lorsque y est négatif) passe au-dessus et inversement.

Pour L'axe (Oy) il suffit de remplacer y = ƒ(x) par y = ƒ(- x) . Ainsi tout ce qui était à gauche (donné par les valeurs négatives de x) passe à droite et inversement.

Sachant déjà comment déplacer la courbe horizontalement et verticalement on en déduit comment s'y prendre pour n'importe quels axes horizontales ou verticales.

Par exemple avec : y = x²,
pour sa symétrie par (Ox) on a : y = - x² ,
ensuite si l'on l'augmente de 2 on a : y = - x²+2 qui est symétrique à y = x² par l'axe y = 1 .

Pour avoir la symétrie par l'axe y = a on passe de y = ƒ(x) à y = - ƒ(x) +2a .
Attention, si l'on avait déplacé la courbe de 2a avant de faire sa symétrie par (Ox) on aurait eu :
y = ƒ(x) +2a (augmenter de 2a) puis y = - ( ƒ(x) +2a ) = - ƒ(x) -2a qui elle est symétrique par l'axe y = - a et pô par y = a !!!

Le même type de raisonnement amène à remplacer y = ƒ(x) par y = ƒ( -x -2b) pour avoir la symétrique par l'axe x = b .


La symétrie par le point conserve les distances et les directions ( l'image symétrique d'une droite lui est parallèle), mais inverse les sens !

Déplacement de courbe (représentant des fonctions)

Pour déplacer une courbe verticalement rien de plus simple ! Il suffit d'ajouter (ou retirer) à son équation le nombre d'unités souhaité.
Exemple :

Ici pour chaque valeur de x la courbe de D est descendu de 2 unités par rapport à celle de C.

Pour un déplacement horizontale c'est presque aussi simple. Par exemple si l'on veut que notre courbe C avance de 2 unités on remplacera x par (x-2). Ainsi pour chaque valeur de x la nouvelle équation donnera la valeur qu'il y avait 2 unités plus tôt, et au final la courbe à avancé de 2 ! Tu m'suis ?!
Exemple :

... à venir la symétrie, et peut'être la rotation !? ...

ƒ(x) Mr Armand

   J'avais fait cette équation pour un ancien prof ( que je n'ai d'ailleurs jamais réussi à retrouver, Mr Armand, il était prof de math dans un collège à Montpellier en 94/95 ... si ça parle à quelqu'un !? ).

On demande de tracer ƒ(x). Pour y arriver il est important de comprendre à quoi vont pouvoir me servir “les Z'otres” ... Bonne chance !

Arithmétique appliquée et impertinente (livre)

auteur : Jean-Louis Fournier

Un recueil de problème, le niveau n'est pas élevè mais de toute façon on s'en moque se qui compte c'est les énoncées ! C'est du genre : À la piscine Olympique de Lourdes, le manchot-cul-de-jatte à parcourus la longueur de la piscine au bout de 4h45 en pagayant avec les oreilles. L'aveugle a parcourus la piscine dans le sens de la largeur en 2min21 et le Paralytique dans le sens de la profondeur en 12 secondes. On donne les vitesse de chacun et on demande qu'elle est le volume de la piscine !!!

Je n'en dit pas plus pour pas tuer les blagues. Elles ne sont pas toutes hilarantes mais le bouquin vaut le coût.
Je l'avais acheté d'occase 3 ou 4 €.

La phylosophie Shadok

Je pompe donc je suis.

Il faut pomper pour vivre et donc vivre pour pomper.

Il vaut mieux pomper même s'il ne se passe rien que de risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas.

Pour qu'il y ait le moins de mécontents possible, il faut toujours taper sur les mêmes.

En essayant continuellement on finit par réussir. Donc : plus ça rate, plus on a de chance que ça marche.

La probabilité de réussir la mise sur orbite d'une fusée est d'une chance sur un million. Dépêchons-nous de rater 999.999 lancements !

Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des conneries que mobiliser sa connerie sur des choses intelligentes

S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème.

La plus grave maladie du cerveau c'est de réfléchir.

La vérité c'est qu'il n'y a pas de vérité (y compris celle-ci).

Avec un escalier prévu pour la montée on réussit souvent à monter plus bas qu'on ne serait descendu avec un escalier prévu pour la descente.

Dans la marine on ne fait pas grand-chose mais on le fait de bonne heure.

C'est encore dans la marine qu'il y a le plus de marins.

Mieux vaut regarder là où on ne va pas, parce que, là où on va, on saura ce qu'il y a quand on y sera.

Je dis des choses tellement intelligentes que, le plus souvent, je comprends pas ce que je dis.