L'effet des valeurs absolus sur les fonctions

Les valeurs absolues rendent positif ce qui était négatif. Leurs effets sur une courbe ressemble souvent à un “effet miroir”.

Commençons avec le plus simple y=ƒ(|x|).
Ici toutes les valeurs négatives de x seront rendu positives.
La courbe sur x ℮ ]-∞;0[ sera la même que sur x ℮ ]0;+∞[ mais en sens inverse. La courbe représentant y=ƒ(|x|) sera symétrique par l'axe (Oy).

Maintenant si l'on prend y=|ƒ(x)|. La valeur absolue n'interviendra que lorsque ƒ(x) < 0. Chaque fois que sa courbe serai sous l'axe (Ox) la valeur absolue la ramènera au-dessus. Toutes les parties sous (Ox) se retrouveront inversé en haut.
Exemple :

Symétrie horizontal et vertical d'une courbe de fonction

Au programme aujourd'hui la symétrie horizontal, vertical, par un point et par les diagonales.
Pour faire l'équation ƒ(x)Mr.Armand seules les symétries par l'axe (Ox) et (Oy) m'ont été utiles mais je mets quand même les autres pour le Fun !


La Symétrie par l'axe (Ox) ou (Oy) est toute simple :

Pour l'axe (Ox) il suffit de remplacer y = ƒ(x) par y = - ƒ(x) . Ainsi tout ce qui était sous l'axe (Ox) (lorsque y est négatif) passe au-dessus et inversement.

Pour L'axe (Oy) il suffit de remplacer y = ƒ(x) par y = ƒ(- x) . Ainsi tout ce qui était à gauche (donné par les valeurs négatives de x) passe à droite et inversement.

Sachant déjà comment déplacer la courbe horizontalement et verticalement on en déduit comment s'y prendre pour n'importe quels axes horizontales ou verticales.

Par exemple avec : y = x²,
pour sa symétrie par (Ox) on a : y = - x² ,
ensuite si l'on l'augmente de 2 on a : y = - x²+2 qui est symétrique à y = x² par l'axe y = 1 .

Pour avoir la symétrie par l'axe y = a on passe de y = ƒ(x) à y = - ƒ(x) +2a .
Attention, si l'on avait déplacé la courbe de 2a avant de faire sa symétrie par (Ox) on aurait eu :
y = ƒ(x) +2a (augmenter de 2a) puis y = - ( ƒ(x) +2a ) = - ƒ(x) -2a qui elle est symétrique par l'axe y = - a et pô par y = a !!!

Le même type de raisonnement amène à remplacer y = ƒ(x) par y = ƒ( -x -2b) pour avoir la symétrique par l'axe x = b .


La symétrie par le point conserve les distances et les directions ( l'image symétrique d'une droite lui est parallèle), mais inverse les sens !

Déplacement de courbe (représentant des fonctions)

Pour déplacer une courbe verticalement rien de plus simple ! Il suffit d'ajouter (ou retirer) à son équation le nombre d'unités souhaité.
Exemple :

Ici pour chaque valeur de x la courbe de D est descendu de 2 unités par rapport à celle de C.

Pour un déplacement horizontale c'est presque aussi simple. Par exemple si l'on veut que notre courbe C avance de 2 unités on remplacera x par (x-2). Ainsi pour chaque valeur de x la nouvelle équation donnera la valeur qu'il y avait 2 unités plus tôt, et au final la courbe à avancé de 2 ! Tu m'suis ?!
Exemple :

... à venir la symétrie, et peut'être la rotation !? ...

ƒ(x) Mr Armand

   J'avais fait cette équation pour un ancien prof ( que je n'ai d'ailleurs jamais réussi à retrouver, Mr Armand, il était prof de math dans un collège à Montpellier en 94/95 ... si ça parle à quelqu'un !? ).

On demande de tracer ƒ(x). Pour y arriver il est important de comprendre à quoi vont pouvoir me servir “les Z'otres” ... Bonne chance !